在△ABC中，已知tanA=
1
2
，tanB=
1
3
，若△ABC最長邊的長為1，則最短邊的長為
 
．
分析：由tanA與tanB的值大小關(guān)系，判斷出A與B的大小，得到兩角為銳角，可得出C為鈍角，得到AB為最長邊，畫出相應(yīng)圖形，過C作CD垂直于AB，根據(jù)tanA與tanB得出AB與CD的關(guān)系，求出CD的長，在三角形ACD中，利用正弦定理求出AC的長，即為最短邊長．
解答：精英家教網(wǎng)解：∵tan45°=1，tanA=
1
2
，tanB=
1
3
，
∴tanB＜tanA＜tan45°，即B＜A＜45°，AC為最短邊，
∴△ABC最大角為鈍角C，最長邊的長為AB=1，
根據(jù)題意畫出圖形，過C作CD⊥AB，交AB于點D，
由tanA=
CD
AD
=
1
2
，tanB=
CD
DB
=
1
3
，即AD=2CD，DB=3CD，
∴AB=AD+DB=5DC=1，即CD=
1
5
，
∵tanA=
1
2
，
∴cosA=
1
1+tan2A
=
2
5
5
，sinA=
1-cos2A
=
5
5
，
利用正弦定理得：
AC
sin∠ADC
=
CD
sinA
，即AC=
1
5
×1
5
5
=
5
5
．
故答案為：
5
5
點評：此題考查了正弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點，
AD
•
BC
=0，H是△ABC的垂心，且
AH
=3
HD
．
（Ⅰ）求點H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點且斜率為-
1
2
的直線與軌跡M交于點P，點Q（t，0）是x軸上任意一點，求當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：南通高考密卷·數(shù)學(xué)（理） 題型：013

在△ABC中，已知三邊a，b，c成等差數(shù)列，且有sinB＋cosB＝t，則t的取值范圍是

[　　]

A．(0，)
B．(1，)
C．(0，1)
D．(，＋∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上杭一中、武平一中、長汀一中、漳平一中2006－2007學(xué)年第一學(xué)期高三期末考數(shù)學(xué)試題(理) 題型：044

在△ABC中，已知B(－3，0)，C(3，0)，D為線段BC上一點，是△ABC的垂心，且．

(1)求點H的軌跡M的方程；

(2)若過C點且斜率為的直線與軌跡M交于點P，點Q(t，0)是x軸上任意一點，

求：當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年江蘇省無錫市高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求點H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點且斜率為的直線與軌跡M交于點P，點Q（t，0）是x軸上任意一點，求當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省陸慕高級中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期第一次測試 題型：解答題

 

在△ABC中，已知．

  (Ⅰ) 求證： ｜｜＝｜｜；

(Ⅱ) 若｜＋｜＝｜－｜＝，求｜－t｜的最小值以及相應(yīng)的t的值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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