Question

函數(shù)f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0），該函數(shù)圖象在點(diǎn)P（x₀，1-ax₀²） 處的切線為l，設(shè)切線l 分別交x 軸和y 軸于兩點(diǎn)M和N．
（1）將△MON （O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S 表示為x₀ 的函數(shù)S（x₀）；
（2）若在x₀=1處，S（x₀）取得最小值，求此時(shí)a的值及S（x₀）的最小值；
（3）若記M點(diǎn)的坐標(biāo)為M（m，0），函數(shù)y=f（x） 的圖象與x軸交于點(diǎn)T（t，0），則m與t的大小關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)道說的幾何意義可得函數(shù)圖象在點(diǎn)P（x₀，1-ax₀²） 處的切線的斜率為f^′（x₀）=-2ax₀再由點(diǎn)斜式寫出切線方程然后根據(jù)題意易得M，N的坐標(biāo)再根據(jù)面積公式S△MON=

1

2

|oM||oN|即可得解．
（2）在第一問的基礎(chǔ)上可利用S′(x0)=

(3a x 2 0 -1)(a x 2 0 +1)

4ax0

=0判斷出s（x₀）的單調(diào)性然后根據(jù)單調(diào)性可得出S（x₀）的最小值以及取得最小值時(shí)a的值．
（3）求出t的值結(jié)合（1）得m=

1+ax02

2ax0

再結(jié)合t的值將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮即可得解．

解答：解：（1）∵f（x）=1-ax²（a＞0，x＞0）
∴f^′（x）=-2ax
∴f^′（x₀）=-2ax₀
∴函數(shù)圖象在點(diǎn)P（x₀，1-ax₀²） 處的切線為y-（1-ax₀²）=-2ax₀（x-x₀）即y=-2ax₀x+1+ax₀²
∴M（

1+ax02

2ax0

，0），N（0.1+ax₀²）
∴S△MON=

1

2

|oM||oN|=

(1+ax02)2

4ax0

（2）令S′(x0)=

(3a x 2 0 -1)(a x 2 0 +1)

4ax0

=0
則x0=

1 3a

∴當(dāng)0＜x₀＜

1 3a

時(shí)s^′（x₀）＜0則s（x₀）單調(diào)遞減
  當(dāng)x0＞

1 3a

時(shí)s^′（x₀）＞0則s（x₀）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x0=

1 3a

=1 時(shí)，面積最小此時(shí)a=

1

3

，Smin=

4

3

 
（3）由題意知t=

1 a

又∵m=

1+ax02

2ax0

=

1

2ax0

+

x0

2

≥

1 2ax0 × x0 2

=

1 a

∴m≥t

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是第一問要知道在某一點(diǎn)出切線的斜率即為在這一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，而第二問要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)S（x₀）的單調(diào)性進(jìn)而求其最小值，第三問關(guān)鍵是將m拆成和的形式在利用基本不等式進(jìn)行放縮．