Question

已知正三角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y²=2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是△OAB的外接圓(點(diǎn)C為圓心)．

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)圓M的方程為(x)²+(y)²=1，過(guò)圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求的最大值和最小值．

Answer 1

答案：(1)由于O為原點(diǎn)，三角形OAB是正三角形，A，B兩點(diǎn)在拋物線上，故A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，可知直線OA的傾角為，OA方程是y=x，代入y²=2x，解得A點(diǎn)坐標(biāo)是A(6，)或A(6，)同樣可求得B點(diǎn)的坐標(biāo)是B(6，)或8(6，)．

設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r，O)，則r=×6=4，

所以圓C的方程為：(x-4)⁴+y²=16．

(2)設(shè)∠ECF=2α，則·cos2α=16cos2α=32cos²α-16．

在Rt△PCE中，cosα=，M點(diǎn)的坐標(biāo)是，|MC|=7

|PC|≤|MC|+1=7+1=8．

|PC|≥|MC|-1=7-1=6．

所以≤cosα≤，由此可得-8≤≤．

則的最大值為，最小值為-8．