Question

設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列四個命題：
①若m∥β，m∥α，α∩β=n，則m∥n；
②若α⊥β，m∥α，則m⊥β；
③若α⊥β，m⊥β，則m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β．真命題的有    ．（填序號）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，依次分析選項，①利用直線與平面的平行的性質(zhì)與判定可以判斷；②用長方體中的線線，線面，面面關(guān)系驗證；③用長方體中的線線，線面，面面關(guān)系驗證；④由用長方體中的線線，線面，面面關(guān)系驗證得到結(jié)論．
解答：解：對于①，過m作平面γ∩α=a，∵m∥α，∴m∥a，同理過m作平面γ′∩β=b，則m∥b，∴a∥b，∴a∥β，∵α∩β=n，∴a∥n，∵m∥a，∴m∥n，故①正確；
對于②，用長方體驗證．如圖，設(shè)A₁B₁為m，平面AC為α，平面A₁B為β，顯然有m∥α，α⊥β，但得不到m⊥β，不正確；
對于③，可設(shè)A₁A為m，平面AC為β，平面A₁D或平面B₁C為α，滿足選項C的條件且得到m∥α或m?α，故③不正確；
對于④，可設(shè)A₁B₁為m，平面A₁D為α，A₁A為n，平面AC為β，滿足選項D的條件且得到α⊥β，故④正確；
綜上知，真命題有①④
故答案為：①④
點評：本題考查空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，著重考查線面垂直與線面平行的判定與性質(zhì)及面面平行與垂直判定與性質(zhì)，屬于中檔題．