Question

已知函數(shù)
（1）在直角坐標系中，畫出函數(shù)大致圖象．
（2）關于x的不等式f（x）≥k-7x²的解集一切實數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）關于x的不等式的解集中的正整數(shù)解有3個，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）圖象特征大致是過點（0，6）定義域R的偶函數(shù)，值域（0，6]，在（0，+∞）單調遞減區(qū)間，然后畫圖大致圖象即可；
（2）解法一：依題意，將k分離出來，然后利用函數(shù)的單調性研究不等式另一側函數(shù)的最小值，從而求出k的范圍；
解法二：7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0對一切實數(shù)恒成立，設x²=t≥0，可轉化成函數(shù)h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立，建立關系式，解之即可；
（3）方法一：依題意有a＞0，所對應方程有兩個同號的正根，然后根據(jù)韋達定理可知必有一個小的根x₁∈（0，1）則x₂∈（3，4]，利用求根公式建立關系式，解之即可；
方法二：依題意有a＞0，不等式的解集（x₁，x₂），根據(jù)函數(shù)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立關系式，解之即可；
方法三：依題意有a＞0，不等式的解集（x₁，x₂），根據(jù)函數(shù)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，然后建立關系式，解之即可；
方法四：數(shù)形結合，依題意有a＞0，畫出符合題意的大致圖形，交點的橫坐標是方程的解，然后建立關系式，解之即可．
解答：（理）
解：（1）圖象特征大致如下，過點（0，6）定義域R的偶函數(shù)，
值域（0，6]，在（0，+∞）單調遞減區(qū)間
（2）解法一：依題意，變形為對一切實數(shù)x∈R恒成立（1分），設，k≤h（x）_min（1分）
在[0，+∞）單調遞減（可用函數(shù)單調性定義證明或復合函數(shù)的單調性說明）（4分
h（x）_min=h（0）=6∴k≤6（1分）
解法二：6≥（k-7x²）（x²+1），7x⁴+（7-k）x²+6-k≥0對一切實數(shù)恒成立（1分）
設x²=t≥0，h（t）=7t²+（7-k）t+6-k（t≥0）的最小值大于等于0恒成立（1分）；
（2分）（2分）∴k≤6（1分）
（3）方法一：依題意有a＞0（1分）
不等式變形為當時不合題意，舍去                 （1分）△＞0時a²＜9，∴0＜a＜3（1分）
方程的有兩根x₁，x₂（x₁＜x₂）∵，方程有兩個同號的正根，且必有一個小的根x₁∈（0，1）∴x₂∈（3，4]，（2分）∴，（1分）
解得不等式（1分）
方法二：依題意有a＞0，（1分）
不等式的解集（x₁，x₂），（1分）
根據(jù)函數(shù)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）
∴（1分）
所以（2分）
方法三：依題意有a＞0，（1分）
不等式的解集（x₁，x₂），（1分）
根據(jù)函數(shù)的性質知道：其中x₁∈（0，1）x₂∈（3，4]，（2分）
（1分）
所以（2分）
方法四數(shù)形結合
依題意有a＞0，（1分）
畫出符合題意的大致圖形
交點的橫坐標是方程的解（2分）（2分）
所以（2分）
點評：本題主要考查了一元二次不等式的應用，以及不等式恒成立問題，同時考查了數(shù)形結合，利用函數(shù)單調性求函數(shù)的最值等有關問題，屬于中檔題．