Question

若雙曲線以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的長軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)（4

2

，3），求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出它的離心率和漸近線方程．

Answer 1

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
設(shè)所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（4

2

，3），所以有

32

a2

-

9

b2

=1②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求雙曲線的方程為

x2

16

-

y2

9

=1．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=

c

a

=

7

4

，
漸近線方程：y=±

3

4

x                                …（12分）