Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l:y=-1，定點(diǎn)F(0，1)，過平面內(nèi)動點(diǎn)P作PQ丄l于Q點(diǎn)，且•

(I )求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(II)過點(diǎn)P作圓的兩條切線，分別交x軸于點(diǎn)B、C，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y₀>4時，試用y₀表示線段BC的長，并求ΔPBC面積的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值為32．

【解析】（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件列式化簡即可；（Ⅱ）先求出切線方程，然后利用弦長公式求出三角形的底邊，然后利用點(diǎn)到直線的距離求出高，進(jìn)一步求出面積的最值

（Ⅰ）設(shè)，則，∵，

∴． …………………2分

即，即，

所以動點(diǎn)的軌跡的方程． …………………………4分

（Ⅱ）解法一：設(shè)，不妨設(shè)．

直線的方程:，化簡得 ．

又圓心到的距離為2， ，        

故，易知，上式化簡得， 同理有．　…………6分　

所以，，…………………8分

則．

因是拋物線上的點(diǎn)，有，

則 ，． ………………10分

所以．

當(dāng)時，上式取等號，此時．

因此的最小值為32．  ……………………12分 

解法二：設(shè), 則，、的斜率分別為、，

則：，令得，同理得；

所以，……………6分

下面求,由到：的距離為2，得，

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821035427875683/SYS201207182104353100238146_DA.files/image018.png">，所以，化簡得，

同理得…………………8分

所以、是的兩個根.

所以

，，

，……………10分

所以．

當(dāng)時，上式取等號，此時．

因此的最小值為32．