Question

在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點(diǎn)，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點(diǎn)E在SD上，且，如下圖。

（1）求證：平面ABCD；

（2）求二面角E—AC—D的正切值．

 

Answer 1

【答案】

（1）在圖中，由題意可知為正方形，所以在圖中，，

四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052808230730435924/SYS201305280824207887680854_DA.files/image003.png">，ABBC，

所以BC平面SAB，

又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，  

（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：在圖中，由題意可知，

為正方形，所以在圖中，，

四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052808230730435924/SYS201305280824207887680854_DA.files/image003.png">，ABBC，

所以BC平面SAB，

又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，

所以SA平面ABCD，  

（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052808230730435924/SYS201305280824207887680854_DA.files/image009.png">，所以EO//SA

所以EO平面ABCD，過(guò)O作OHAC交AC于H，連接EH，

則AC平面EOH，所以ACEH。

所以為二面角E—AC—D的平面角，

在中，…11分

，即二面角E—AC—D的正切值為

考點(diǎn)：線面垂直的判定及二面角求解

點(diǎn)評(píng)：本題中第二問(wèn)求二面角采用的是作角求角的思路，在作角時(shí)常用三垂線定理法；此外還可用空間向量的方法求解；以A為原點(diǎn)AB,AD,AS為x,y,z軸建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入向量計(jì)算公式即可