Question

已知數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*；
（1）猜想數(shù)列{x_2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：|xn+1-xn|≤

1

6

(

2

5

)n-1．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于數(shù)列{x_n}的單調(diào)性的證明，我們可以根據(jù)數(shù)列的前若干項(xiàng)，歸納推理出數(shù)列的單調(diào)性，然后再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（2）我們可以將待證的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變形成|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

的形式，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行證明．

解答：證明：（1）由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，x5=

8

13

，x6=

13

21

，…
由x₂＞x₄＞x₆猜想：數(shù)列{x_2n}是遞減數(shù)列
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立
（2）當(dāng)n=1時(shí)，|xn+1-xn|=|x2-x1|=

1

6

，結(jié)論成立
當(dāng)n≥2時(shí)，易知0＜x_n-1＜1，
∴1+xn-1＜2，xn=

1

1+xn-1

＞

1

2

∴(1+xn)(1+xn-1)=(1+

1

1+xn-1

)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

∴|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|xn-xn-1|≤(

2

5

)2|xn-1-xn-2|≤…≤(

2

5

)n-1|x2-x1|
=

1

6

(

2

5

)n-1

點(diǎn)評(píng)：本題（1）中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．