Question

[必做題]
已知整數(shù)n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3個(gè)元素的子集記為A₁，A₂，…，A_C．
（1）當(dāng)n=5時(shí)，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）設(shè)m_i為A_i中的最小元素，設(shè)p_n=m₁+m₂+…+m_c，試求p_n（用n表示）．

Answer 1

（1）當(dāng)n=5時(shí)，含元素1的子集中，必有除1以外的兩個(gè)數(shù)字，兩個(gè)數(shù)字的選法有個(gè)，所以含有數(shù)字1的幾何有6個(gè)．同理含2，3，4，5的子集也各有6個(gè)，
于是所求元素之和為（1+2+3+4+5）×15=90
（2）證明：不難得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1為最小元素的子集有個(gè)，以2為最小元素的子集有

C

2n-2

個(gè)，以3為最小元素的子集有

C

2n-3

，…以n-2為最小元素的子集有

C

22

個(gè)
∴p_n=m₁+m₂+…+m_c=1×

C

2n-1

+2

C

2n-2

+…+(n-2)

C

22

=(n-2)

C

22

+(n-3)

C

23

+…+

C

2n-1

=

C

22

+（n-3）（

C

22

+

C

23

）+（n-4）

C

24

+…+

C

2n-1

=

C

22

+(n-3)(

C

33

+

C

23

)+(n-4)

C

24

+…

+C

2n-1

=

C

22

+

C

34

+（n-3）（

C

24

+

C

34

）+…+

C

2n-1

=

C

22

+

C

34

+（n-4）

C

35

+…+

C

2n-1

=

C

44

+

C

34

+

C

35

+…+

C

3n

=

C

4n+1