Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程及f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求在點(diǎn)x=1處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，從而問題解決．
（2）類似與（1）中的方法，先求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，求出極值即可．
解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，，（1分）
∴f'（1）=3．
函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的切線方程為y-1=3（x-1），即y=3x-2（3分）
當(dāng)x＞0時(shí)，，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
而f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），不存在遞減區(qū)間．（5分）
（2）函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）的定義域?yàn)椋?，+∞），，（6分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；函數(shù)f（x）無極值（8分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）＞0，得，（9分）
由f'（x）＜0，得，（10分）
∴當(dāng)時(shí)，f（x）有極小值（11分）
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有極小值，無極大值（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力及分類討論思想．屬于基礎(chǔ)題．