Question

設(shè)函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f()=4x-+1,數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足下列條件:a₁=1,a_n+1-2a_n=f(n),b_n=a_n+1-a_n(n∈N^*).
(1)求f(x)的解析式.
(2)求{b_n}的通項(xiàng)公式b_n.
(3)試比較2a_n與b_n的大小,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

(1) f(x)=2x+1   (2) b_n=3·2ⁿ-2   (3)見(jiàn)解析

(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,
∴2f()-f(x)=-2x+1.
聯(lián)立方程組
①×2+②,得3f(x)=6x+3
∴f(x)=2x+1.
(2)由題設(shè)a_n+1=2a_n+2n+1　　　　　　�、�,
a_n+2=2a_n+1+2n+3 ④,
④-③得a_n+2-a_n+1=2(a_n+1-a_n)+2,
即b_n+1=2b_n+2,∴b_n+1+2=2(b_n+2),
∴{b_n+2}為等比數(shù)列.
q=2,b₁=a₂-a₁=4,b_n+2=6·2^n-1,
∴b_n=3·2ⁿ-2.
(3)由(2),知a_n+1-a_n=3×2ⁿ-2,而已知a_n+1-2a_n=2n+1,聯(lián)立解得a_n=3×2ⁿ-2n-3,
∴2a_n=6×2ⁿ-4n-6,
∴2a_n-b_n=3×2ⁿ-4(n+1).
當(dāng)n=1時(shí),2a₁-b₁=-2<0,∴2a₁<b₁;
當(dāng)n=2時(shí),2a₂-b₂=0,∴2a₂=b₂;
當(dāng)n=3時(shí),2a₃-b₃=8>0,∴2a₃>b₃;
當(dāng)n=4時(shí),2a₄-b₄=28>0,∴2a₄>b₄.
猜想當(dāng)n≥3時(shí),2a_n>b_n即3×2ⁿ>4(n+1).
當(dāng)n=3時(shí),顯然成立,
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),命題正確,
即3×2^k>4(k+1).
當(dāng)n=k+1時(shí),
即3×2^k+1=2×(3×2^k)>8(k+1)=8k+8
=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).
不等式也成立,故對(duì)一切n≥3且n∈N^*,
2a_n>b_n.
綜上所述,當(dāng)n=1時(shí),2a_n<b_n;
當(dāng)n=2時(shí),2a_n=b_n;
當(dāng)n≥3時(shí),2a_n>b_n.