Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，那么x∈[1，3ⁿ]，n∈N^*時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積為________．

Answer 1

分析：由已知中當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）=1-|x-2|，函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），我們可以分別求出x∈[3^n-1，3ⁿ]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S_n-1，代入等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可得到答案．
解答：∵函數(shù)y=f（x）滿足f（3x）=3f（x），
又∵當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₁==1，
∴當(dāng)x∈[3¹，3²]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₂==9，
當(dāng)x∈[3²，3³]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S₃==81，
…
當(dāng)x∈[3^n-1，3ⁿ]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S_n-1==3^2n-2
此時(shí)函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積S=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=
故答案為：
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中根據(jù)已知條件，確定出當(dāng)x∈[3^n-1，3ⁿ]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形面積，成等比數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式，是解答本題的關(guān)鍵．