Question

計(jì)算：
（1）

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

（2）

lim

n→∞

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

（3）

lim

n→∞

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

（4）

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]即可得出；
（2）利用（1）和極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（4）利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]即可得出；
（3）利用（4）和極限的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）∵(1+

i

n

)2=1+

2i

n

+(

i

n

)2，
∴

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

=

1

n

[n+n+1+

n(n+1)(2n+1)

6n2

]=

1

6

(2+

1

n

)(7+

1

n

)．
（2）由（1）可得

lim

n→∞

n

i=1

(1+

i

n

)2×

1

n

=

1

6

×2×7=

7

3

．
（4）

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

=[

n(n+1)(2n+1)

6n2

+n]×

1

n

=

1

6

[(1+

1

n

)(2+

1

n

)+1]．
（3）由（4）可得

lim

n→∞

n

i=1

[(

i

n

)2+1]×

1

n

=

1

6

(1×2+1)=

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式[12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

]、極限的運(yùn)算性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．