已知函數(shù)f(x)=x4-4x3+ax2-1在區(qū)間[0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，2]上單調遞減，(1)求a的值；

　　(2)若點A(x0，f(x0))在函數(shù)f(1)的圖象上，求證點A關于直線x=1的對稱點B也在函數(shù)f(x)的圖象上；

　　(3)是否存在實數(shù)6，使得函數(shù)g(x)=bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點？若求出實數(shù)b的值；若不存在，試說明理由。

 

答案：
解析：

　　(1)解：∵ 函數(shù)在區(qū)間[0，1]上單調遞增，在區(qū)間[1，

　　  2]上單調遞減，

　　  ∴ 時，y取得極大值。

　　  ∴ f′(x)=0

　　  ∵ f′(x)=4x3-12x2+2ax，

　　  ∴ 4-12+2a

　　  ∴ a=4

　　  (2)證明：點A(x0，f(x0))關于直線x=1的對稱點B的坐標為(2-x0，f(x0))。

　　  f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+(2-x0)2-1

　　　　　　   =(2-x0)2[(2-x0)-22]-1

　　　　　　   =x04-4x03+4x0-1

　　　　   　　=f(x0)

　　   ∴ 點A關于直線x=1的對稱點B也在函數(shù)f(x)的圖象上。

　　  (3)解：函數(shù)g(x)=bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有3個交點，等價于方程恰有3個不等實根。

　　 

　　  ∵ x=0是其中一個根，

　　  ∴ 方程有兩個非零不等實根。

　　  .

 


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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