Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x²上，從原點(diǎn)向A(2,4)移動(dòng)，如果直線OP，曲線y＝x²及直線x＝2所圍成的封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂.

(1)當(dāng)S₁＝S₂時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)S₁＋S₂有最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值.,

Answer 1

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，t²)，直線OP的方程為y＝tx，

S₁＝

S₂＝

因?yàn)镾₁＝S₂，所以t＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

(2)S＝S₁＋S₂＝

S′＝t²－2，令S′＝0得t²－2＝0，t＝，

因?yàn)?<t<時(shí)，S′<0；<t<2時(shí)，S′>0，

所以，當(dāng)t＝時(shí)，S_min＝，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,2).

【變式備選】求由拋物線y²＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成的圖形的面積.

【解析】由題意，作出圖形(如圖所示)，

解方程組

所以y²＝8x(y>0)與直線x＋y－6＝0的交點(diǎn)為(2,4)，

所以所求面積為S=