Question

已知a_i＞0（i=1，2，…，n），考察下列式子：(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．我們可以歸納出，對(duì)a₁，a₂，…，a_n也成立的類似不等式為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，我們可以根據(jù)已知條件中的不等式(i)a1•

1

a1

≥1；(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9，分析不等式左邊每一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)與右邊的數(shù)之間的關(guān)系，易得等式左邊每一個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)為n時(shí)，右邊的數(shù)為n²，歸納后即可推斷出第n（n∈N^*）個(gè)不等式．

解答：解：由(i)a1•

1

a1

≥1；
(ii)(a1+a2)(

1

a1

+

1

a2

)≥4；
(iii)(a1+a2+a3)(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

)≥9．
…
∴(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2
故答案為：(a1+a2+…+an)(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)≥n2

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．