Question

已知橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1的兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，長軸兩頂點為A₁，A₂．
（1）P是橢圓上一點，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面積；
（2）過橢圓的左焦點作一條傾斜角為45°的直線l與橢圓交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由橢圓的定義得，|PF₁|+|PF₂|=2a=2

5

，由余弦定理得，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|
cos30°，運(yùn)用配方，求出|PF1|•|PF2|=16(2-

3

)，再由面積公式，即可得到；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|，即可得到答案，

解答： 解：（1）橢圓C：

x2

5

+

y2

4

=1的a=

5

，b=2，c=1．
由橢圓的定義得，|PF₁|+|PF₂|=2a=2

5

，
由余弦定理得，|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°，
即有4=20-2|PF₁||PF₂|-

3

|PF₁||PF₂|，
可得：|PF1|•|PF2|=16(2-

3

)，
故S△F1PF2=

1

2

|PF1|•|PF2|sin30°=4(2-

3

)；
（2）F（-1，0），直線l：y=x+1．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立

y=x+1 x2 5 + y2 4 =1

⇒9x2+10x-15=0，
故x1+x2=-

10

9

，x₁x₂=-

5

3

，
則|AB|=

1+1

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

100 81 + 20 3

=

16

9

5

．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．