Question

（05年湖北卷理）（12分）

如圖，在四棱錐P―ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，

BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).

   （Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.

 

Answer 1

解析：解法1：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

 

則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，，1），從而

設(shè)的夾角為θ，則

∴AC與PB所成角的余弦值為.

   （Ⅱ）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則

，由NE⊥面PAC可得，

  ∴

即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.

解法2：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE//PB，

∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角.

在△AOE中，AO=1，OE=

∴

即AC與PB所成角的余弦值為.

 （Ⅱ）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則.

連PF，則在Rt△ADF中

設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，從而NE⊥面PAC.

∴N點(diǎn)到AB的距離，N點(diǎn)到AP的距離