Question

在（

1 x

+

5	1 x3

）ⁿ的展開(kāi)式中，所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為1 024，則中間項(xiàng)系數(shù)是（　�。�

• A、330
• B、462
• C、682
• D、792

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式判斷出(

1 x

+

5	1 x3 )

n的系數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和，
列出方程求出n，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出中間項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：(

1 x

+

5	1 x3 )

n展開(kāi)式的系數(shù)為展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)
∵二項(xiàng)式的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，
而所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等．
由題意得，2^n-1=1024，
∴n=11，
∴展開(kāi)式共有12項(xiàng)，
中間項(xiàng)為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，系數(shù)為C₁₁⁵=C₁₁⁶=462．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．