Question

【題目】已知函數(shù)，如果存在給定的實(shí)數(shù)對(duì)，使得恒成立，則稱為“函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)，是否是“函數(shù)”；

（2）若是一個(gè)“函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)；

（3）若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是“-函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)和，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，求當(dāng)時(shí)函數(shù)的值域.

Answer 1

【答案】（1）不是“-函數(shù)”，是“-函數(shù)”；（2），；（3）.

【解析】

（1）先分別假設(shè)和為“函數(shù)”，根據(jù)“函數(shù)”的定義進(jìn)行驗(yàn)證，由此判斷出這兩個(gè)函數(shù)是否為“函數(shù)”

（2）根據(jù)“函數(shù)”的定義，恒成立，利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，由此列方程，解方程求得的值，進(jìn)而確定有序?qū)崝?shù)對(duì).

（3）首先根據(jù)“函數(shù)”的定義得到，，由此得到，依次求得函數(shù)的值域，依次類推，得到，，進(jìn)而求得時(shí)函數(shù)的值域，根據(jù)求得時(shí)函數(shù)的值域，從而求得時(shí)函數(shù)的值域.

（1），若為“-函數(shù)”，則存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得恒成立，即，最多有兩個(gè)符合，不恒成立，∴不是“-函數(shù)”；

，若為“-函數(shù)”，存在實(shí)數(shù)對(duì)，使得，即只需滿足，∴存在實(shí)數(shù)對(duì)，即是“-函數(shù)”；

（2），即，

即恒成立，∴，，

∴，，，，即有序?qū)崝?shù)對(duì)為，；

（3），，∴，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，當(dāng)，，當(dāng)，，當(dāng)，，……，依此類推，，，∴時(shí)，，∵，∴時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.