Question

【題目】已知， ， ．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）記，設(shè)， 為函數(shù)圖象上的兩點，且．

（�。┊�(dāng)， 時，若在處的切線相互垂直，求證： ；

（ⅱ）若在點處的切線重合，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時， 在上單調(diào)遞減，即時， 在和上都是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的；（2）（i）見解析；（ii）．

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）（i）求出 的解析式，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)判斷即可；（ii）求出 的坐標(biāo)，分別求出曲線在的切線方程，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定 的范圍即可.

試題解析：（1），則，

當(dāng)即時， ， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時即時， ，

此時在和上都是單調(diào)遞減的，在上是單調(diào)遞增的；

（2）（i），據(jù)題意有，又，

則且， ，

法1： ，

當(dāng)且僅當(dāng)即， 時取等號．

法2： ， ，

當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．

（ii）要在點處的切線重合，首先需要在點處的切線的斜率相等，

而時， ，則必有，即， ，

處的切線方程是：

處的切線方程是： ，即，

據(jù)題意則， ，

設(shè)， ， ，

在上， ， 在上單調(diào)遞增，

則，又在恒成立，

即當(dāng)時， 的值域是，

故，即為所求．