Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切，A．B分別是橢圓的左、右頂點，P為橢圓C上的動點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若P與A、B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k₁、k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（3）若M為過P且垂直于x軸的直線上的點，且=2，求點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）寫出圓的方程，利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數(shù)的關系求出a，c的值，從而可得橢圓的方程；
（2）設出P的坐標，將其代入橢圓的方程得到P的坐標的關系，寫出A，B的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出k₁，k₂，將P的坐標的關系代入k₁k₂化簡求出其值．
（3）設出M的坐標，求出P的坐標，利用兩點的距離公式將已知的幾何條件用坐標表示，化簡即可求點M的軌跡方程．
解答：（1）解：由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+2=0與圓相切，
∴d==b，即b=，
又e==，即a=c，
∵a²=b²+c²，
∴a=，c=1，
∴橢圓方程為；
（2）證明：設P（x，y）（y≠0），A（-，0），B（，0），
∴k₁=，k₂=
∵，∴，
∴k₁•k₂===-；
（3）解：設M（x，y），其中x∈[-，]．
由已知=2及點P在橢圓C上可得=4
整理得，其中x∈[-，]．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線的斜率，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．