Question

已知橢圓，橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C₁和C₂上，，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出橢圓的長軸長，離心率，根據(jù)橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率，即可確定橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），根據(jù)，可設(shè)AB的方程為y=kx，分別與橢圓C₁和C₂聯(lián)立，求出A，B的橫坐標(biāo)，利用，即可求得直線AB的方程．
解答：解：（1）橢圓的長軸長為4，離心率為
∵橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率
∴橢圓C₂的焦點(diǎn)在y軸上，2b=4，為
∴b=2，a=4
∴橢圓C₂的方程為；
（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x_A，y_A），（x_B，y_B），
∵
∴O，A，B三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A，B不在y軸上
∴設(shè)AB的方程為y=kx
將y=kx代入，消元可得（1+4k²）x²=4，∴
將y=kx代入，消元可得（4+k²）x²=16，∴
∵，∴=4，
∴，解得k=±1，
∴AB的方程為y=±x
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握橢圓幾何量關(guān)系，聯(lián)立方程組求解．