Question

對于函數(shù)f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

|cos-sinx|，下列說法正確的是

 

（1）當且僅當2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）時，f（x）＞0；
（2）當且僅當x=2kπ+

π

2

（k∈Z）時，該函數(shù)取得最大值；
（3）該函數(shù)的值域是[-1，1]；
（4）該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：通過分段后，易得f（x）=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其圖象，對四個選項逐一分析即可．

解答： 解：當sinx≥cosx時，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）+

1

2

（cos-sinx）=cosx；
當sinx＜cosx時，f（x）=

1

2

（sinx+cosx）-

1

2

（cos-sinx）=sinx；
即f（x）=

cosx，(sinx≥cosx) sinx，(cosx≥sinx)

=

cosx，x∈[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] sinx，x∈[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，
作圖如下：

由圖可知，彩色區(qū)域為一個周期內(nèi)（從-

3π

4

～

5π

4

）的圖象，
當且僅當2kπ＜x＜2kπ+

π

2

（k∈Z）時，f（x）＞0，即（1）正確；
當且僅當x=2kπ+

π

4

（k∈Z）時，該函數(shù)取得最大值，故B錯誤；
該函數(shù)的值域是[-1，

2

2

]，故（3）錯誤；
該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，故（4）錯誤．
綜上所述，（1）正確．
故答案為：（1）．

點評：本題考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作圖是關(guān)鍵，也是難點，考查分析與運算能力，屬于中檔題．