某縣地處水鄉(xiāng),縣政府計(jì)劃從今年起用處理過(guò)的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造地.
(1)若該縣以每年1%的速度減少年填河面積,并保持生態(tài)平衡,使填河總面積永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)現(xiàn)有水面面積的
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,問(wèn):今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的百分之幾?
(2)水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的降低,為了保持其防洪能力不會(huì)下降,就要增加排水設(shè)備,設(shè)其經(jīng)費(fèi)y(元)與當(dāng)年所填土地面積x(畝)的平方成正比,比例系數(shù)為a,又設(shè)每畝水面平均經(jīng)濟(jì)收入為b元,所填的每畝土地年平均收入為c元,那么,要使這三項(xiàng)的收入不少于支出,試求所填面積x之最大值(其中a,b,c為常數(shù)).
分析:(1)設(shè)該縣現(xiàn)有水面面積為M(畝),今年所填面積x(畝),則由已知條件得:x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤
1
4
M
.由此可知今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%.
(2)由題設(shè)條件可知x(x-
c-b
a
)≤0
,然后再根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行分類討論.
解答:解:(1)設(shè)該縣現(xiàn)有水面面積為M(畝),今年所填面積x(畝),
則由已知條件得:x+x(1-1%)+x(1-1%)2+≤
1
4
M

上式左端是無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)和,即有:x
lim
n→∞
1-(1-1%)n
1-(1-1%)
1
4
M

x
1
100
1
4
M
,故x≤
1
400
M

這說(shuō)明今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%.
(2)由題設(shè)條件可知:cx-(ax2+bx)≥0
x(x-
c-b
a
)≤0

當(dāng)c-b≤0時(shí),
c-b
a
≤x≤0
,x為非正值,說(shuō)明不能填地;
當(dāng)c-b>0時(shí),0≤x≤
c-b
a
,x為非負(fù)值,說(shuō)明所填土地面積的最大值為
c-b
a
畝.
點(diǎn)評(píng):解答本題關(guān)鍵在于深刻理解題意,將填河造地的面積抽象為一個(gè)等比數(shù)列,由“填河總面積永遠(yuǎn)…”就須求出這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和.
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某縣地處水鄉(xiāng),縣政府原計(jì)劃從今年起填湖圍造一部分生產(chǎn)和生活用地,但根據(jù)前幾年抗洪救災(zāi)得到的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)和環(huán)境保護(hù)、生態(tài)平衡的要求,準(zhǔn)備重新研究修改計(jì)劃,為了尋求合理的計(jì)劃方案,需要研究以下問(wèn)題:

(1)若按原計(jì)劃填湖造地,水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的下降,為了保證防洪能力不會(huì)下降,除了填湖每畝b元費(fèi)用外,還需要增加排水設(shè)備費(fèi)用,所需經(jīng)費(fèi)與當(dāng)年所填湖造地面積x(畝)的平方成正比,其比例系數(shù)為a,又知每畝地面的年平均收益為c元(其中a、b、c均為常數(shù)),若按原計(jì)劃填湖造地,且使得今年的收益不小于支出,試求所填面積x的最大值.

(2)如果以每年1%的速度減少填湖造地的新增面積,并為了保證水面的蓄洪能力和環(huán)保要求,填湖造地的總面積永遠(yuǎn)不能超過(guò)現(xiàn)有水面面積的,求今年填湖造地的面積最多只能占現(xiàn)有水面的百分之幾?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

某縣地處水鄉(xiāng),縣政府計(jì)劃從今年起用處理過(guò)的生活垃圾和工業(yè)廢渣填河造地.
(1)若該縣以每年1%的速度減少年填河面積,并保持生態(tài)平衡,使填河總面積永遠(yuǎn)不會(huì)超過(guò)現(xiàn)有水面面積的數(shù)學(xué)公式,問(wèn):今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的百分之幾?
(2)水面的減少必然導(dǎo)致蓄水能力的降低,為了保持其防洪能力不會(huì)下降,就要增加排水設(shè)備,設(shè)其經(jīng)費(fèi)y(元)與當(dāng)年所填土地面積x(畝)的平方成正比,比例系數(shù)為a,又設(shè)每畝水面平均經(jīng)濟(jì)收入為b元,所填的每畝土地年平均收入為c元,那么,要使這三項(xiàng)的收入不少于支出,試求所填面積x之最大值(其中a,b,c為常數(shù)).

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