Question

定義在（-1，1）的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)有f（x）＞0．
求證：f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用賦值法研究函數(shù)f（x）的性質(zhì)，令x=y=0得，f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)；再將

1

n2+3n+1

變成

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

，
則f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f（

1

n+1

）+f（-

1

n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

），則依此規(guī)律，然后利用列項(xiàng)法將左邊化簡(jiǎn)，最后利用單調(diào)性解決問題．

解答： 解：由已知令x=y=0代入f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），得，f（0）=0；
同理，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以該函數(shù)是奇函數(shù)，
再結(jié)合f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），
∴f（

1

n2+3n+1

）=f（

1 n+1 - 1 n+2

1- 1 n+1 • 1 n+2

）=f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

），
∴原式左邊=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）+f（

1

4

）-f（

1

5

）+…+f（

1

n+1

）-f（

1

n+2

）
=f（

1

2

）-f（

1

n+2

），
∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)有f（x）＞0，且f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（

1

n+2

）=f（-

1

n+2

）＞0，
∴f（

1

2

）-f（

1

n+2

）＞f(

1

2

)，
即f(

1

5

)+f(

1

11

)+…+f(

1

n2+3n+1

)＞f(

1

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題有一定難度．一般先利用賦值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等性質(zhì)；同時(shí)本題聯(lián)系到條件f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），將左邊拆項(xiàng)，錯(cuò)位相減進(jìn)行化簡(jiǎn)，有一定的技巧性和難度，需要細(xì)細(xì)體會(huì)．