（滿分16分）已知定義域?yàn)?IMG height=21 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090717/20090717140310001.gif' width=33>的函數(shù)同時滿足以下三個條件時，稱為“友誼函數(shù)”，

[1] 對任意的，總有；  [2] ；

[3] 若，，且，則有成立。

請解答下列各題：

(1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；

(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.

(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，求證：.

解析：（1）取得，又由，得          

（2）顯然在上滿足[1] ；[2] .若，，且，則有

 故滿足條件[1]、[2]、[3]，所以為友誼函數(shù).

(3)由 [3]知任給其中，且有，不妨設(shè)

則必有：所以：

所以：.依題意必有,

下面用反證法證明：假設(shè)，則有或

(1)    若，則，這與矛盾；

(2)     若，則，這與矛盾；

     故由上述（1）、（2）證明知假設(shè)不成立，則必有，證畢.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分16分）已知F1（－c,0）, F2（c,0） (c＞0)是橢圓的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M的方程是．

（1）若P是圓M上的任意一點(diǎn)，求證：是定值；

（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點(diǎn)Q，且cos∠F1QF2=，求橢圓的離心率；

（3）在（2）的條件下，若|OQ|=，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省江寧分校高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 （本小題滿分16分）

已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，），且，設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線和軸的垂線，垂足分別為M、N.

（1）求的值；

（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，請說明理由；

（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省、海門中學(xué)、天一中學(xué)高三聯(lián)考數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分16分）

已知橢圓的離心率為，一條準(zhǔn)線．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上的點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于兩點(diǎn)．

        ①若，求圓的方程；

②若是l上的動點(diǎn)，求證點(diǎn)在定圓上，并求該定圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江蘇省高三第一次學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分16分）已知點(diǎn)在雙曲線上，圓C：與雙曲線M的一條漸近線相切于點(diǎn)（1，2），且圓C被x軸截得的弦長為4.（Ⅰ）求雙曲線M的方程；（Ⅱ）求圓C的方程；（Ⅲ）過圓C內(nèi)一定點(diǎn)Q（s，t）（不同于點(diǎn)C）任作一條直線與圓C相交于點(diǎn)A、B，以A、B為切點(diǎn)分別作圓C的切線PA、PB，求證：點(diǎn)P在定直線l上，并求出直線l的方程.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江蘇省南通市高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本題滿分16分）已知圓過點(diǎn)且與圓：關(guān)于直線 對稱，作斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在直線的左上方。

（1）求圓C的方程。

（2）證明：△的內(nèi)切圓的圓心在定直線上。

（3）若∠，求△的面積。

 

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