Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD為矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA=AD=2，CD=4，
（1）求證：MN∥面PAD；
（2）求證：MN⊥面PCD；
（3）求四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）取PD中點(diǎn)設(shè)為T(mén)連接NT，AT，四邊形MNAT是平行四邊形，從而得到MN∥AT，由線面平行判定定理得MN∥平面PAD；
（2）由AT⊥平面PDC，MN∥AT，得到MN⊥平面PCD；
（3）分別求得各側(cè)面的面積再加上底面積．

解答：解：（1）證明：取PD中點(diǎn)設(shè)為T(mén)連接NT，AT，因?yàn)镹為PC中點(diǎn)，所以MA∥CD，且TN=

1

2

CD又因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以AM∥CD，且AM=

1

2

CD，所以MN∥AT，AT?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD
（2）因?yàn)镻A=AD，T為PD中點(diǎn)，所以AT⊥平面PDC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又因?yàn)镃D⊥AD，且AD∩AP=A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥AT，又因?yàn)镃D∩PD=D，所以AT⊥平面PCD，所以MN⊥平面PCD
（3）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PD⊥DC，PB⊥CB，又∵底面ABCD為矩形
S=S_PAB+S_PAD+S_PDC+S_PBC+S_ABCD
=

1

2

（PA．AB+PA*AD+PD*DC+PB*BC）+AB*BC
=14+2

5

+4

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理及表面積體積問(wèn)題．