設(shè)是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列, 是等差數(shù)列,且，
(1)求,的通項(xiàng)公式；
(2)記的前項(xiàng)和為，求證：；
(3)若均為正整數(shù),且記所有可能乘積的和，求證：．

（1） （2）證法一：放縮法；
（2）證法二： 應(yīng)用
（3）證法一：錯(cuò)位相減法；證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。

解析試題分析：（1）設(shè)的公比為的公差為，則     2分
解得所以        5分
（2）證法一：由題意得                 6分
                8分
所以         9分
（2）證法二：由題意得              6分
，當(dāng)時(shí)
且也成立，               8分
所以              9分
（3）證法一：由題意
  11分
令
以上兩式相減得 13分
又，所以             14分
證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明。
（1）當(dāng)時(shí)，所以結(jié)論成立。       10分
（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即。       11分
當(dāng)時(shí)，
，所以當(dāng)時(shí)也成立               13分
綜合（1）、（2）知對任意都成立           14分
考點(diǎn)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“錯(cuò)位相減法”，數(shù)學(xué)歸納法。
點(diǎn)評：典型題，本題綜合性較強(qiáng)，處理的方法多樣。涉及數(shù)列不等式的證明問題，提供了“錯(cuò)位相減求和、放縮、證明”和“數(shù)學(xué)歸納法”等證明方法，能拓寬學(xué)生的視野。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足 ，求的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列前 項(xiàng)和.

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數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
求數(shù)列的通項(xiàng)；

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已知a、b、c成等差數(shù)列且公差，求證：、、不可能成等差數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題


已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是公比為q（）的等比數(shù)列.若
(Ⅰ)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；     
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列對任意自然數(shù)n均有，求 的值；
(Ⅲ)試比較與的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在數(shù)列中，是數(shù)列前項(xiàng)和，，當(dāng)
（1）證明為等差數(shù)列；；
（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對任意自然數(shù)，都有成立？若存在，
求出m 的最大值；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足,且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
（3）設(shè)，記，證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列中， ，（）.
（1）計(jì)算，，；
（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足（）.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少?

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