【題目】如圖,楔形幾何體由一個三棱柱截去部分后所得,底面側(cè)面,,楔面是邊長為2的正三角形,點在側(cè)面的射影是矩形的中心,點上,且

1)證明:平面

2)求楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】

1)做輔助線連接,連接,.根據(jù)平面,得到平面平面,又平面平面,則平面平面,

利用勾股定理計算出,再根據(jù),,,得,,則可證得平面.

2)法一:向量法:建立如圖所示的空間直角坐標系,列出各點的坐標求出向量,.求出兩個平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

法二:幾何法:取的中點,連接,.即為楔面與側(cè)面所成二面角的平面角.求出、、各邊長度,即可求出,則得到楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值.

解:(1)證明:如圖,連接,連接,.

的中點,.

因為平面,所以平面平面,

又平面平面,

所以平面平面,

根據(jù)題意,四邊形是全等的直角梯形,

三角形是全等的等腰直角三角形,

所以,.

在直角三角形中,,

所以,,,

于是,,

所以,.

因為平面,,

所以平面.

2)法一:向量法:以為坐標原點,,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,.

設(shè)平面的一個法向量為,

,取,

平面的一個法向量為,

所以,

所以楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值為.

法二:幾何法:如圖,取的中點,連接,.

即為楔面與側(cè)面所成二面角的平面角.

在直角三角形中,,,

所以,

所以楔面與側(cè)面所成二面角的余弦值為.

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