Question

已知函數(shù)，其中a＞0且a≠1．
（1）證明函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時，判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（3）求函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）證明：令a^x-1＞0，得a^x＞1，當(dāng)a＞1時，x＞0；當(dāng)0＜a＜1時，x＜0．
所以當(dāng)a＞1時，f（x）的定義域為（0，+∞）；當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的定義域為（-∞，0）．
故函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)．
（2）解：當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．下面證明之：
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）的定義域為（-∞，0）．
設(shè)x₁＜x₂＜0，f（x₁）-f（x₂）=-
=，∵0＜a＜1，x₁＜x₂＜0，∴＞＞0，
∴＞1，又0＜a＜1，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故當(dāng)0＜a＜1時，f（x）單調(diào)遞增．
（3）f（2x）=，f^-1（x）=，
令=，得a^2x-1=a^x+1，即a^2x-a^x-2=0，
∴a^x=2或a^x=-1（舍），
∴x=log_a2，則f^-1（log_a2）=log_a3．
故函數(shù)y=f（2x）與y=f^-1（x）的圖象的公共點的坐標(biāo)為（log_a2，log_a3）．
分析：（1）函數(shù)圖象的左右位置由函數(shù)定義域決定，可求出其定義域說明；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）方程f（2x）=f^-1（x）的解即為公共點的橫坐標(biāo)，進而可求出其縱坐標(biāo)．
點評：本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及反函數(shù)，準(zhǔn)確理解有關(guān)概念，掌握其常用方法是解決該類題目的基礎(chǔ)．體會函數(shù)與方程的思想．