Question

（2013•婺城區(qū)模擬）已知拋物線C：

y

2

=2px(p＞0)，M點的坐標為（12，8），N點在拋物線C上，且滿足

ON

=

3

4

OM

，O為坐標原點．
（I）求拋物線C的方程；
（II）以M點為起點的任意兩條射線l₁，l₂的斜率乘積為l，并且l₁與拋物線C交于A、B兩點，l₂與拋物線C交于D、E兩點，線段AB、DE的中點分別為G、H兩點．求證：直線GH過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量線段即可得到點N的坐標，代入拋物線C的方程即可得到p的值，從而得到拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線l₁，l₂，的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得到中點G，H的坐標，從而得到直線GH的方程，令y=0，只要x是一個常數(shù)即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

ON

=

3

4

OM

，點M（12，8），∴

ON

=(9，6)，即N（9，6）．
又∵點N在拋物線C上，∴6²=18p，解得p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由題意可知：直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設l₁：y=k（x-12）+8，則l₂：y=

1

k

(x-12)+8．
由

y=k(x-12)+8 y2=4x

得到ky²-4y+32-48k=0，
是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

．
又y₁+y₂=k（x₁+x₂-24）+16，
∴x₁+x₂=

4

k2

-

16

k

+24，
∴線段AB的中點G(

2

k2

-

8

k

+12，

2

k

)．
用

1

k

代替k即可得到點H（2k²-8k+12，2k）．
∴k_GH=

2(k- 1 k )

2(k2- 1 k2 )-8(k- 1 k )

=

1

k+ 1 k -4

=

k

k2-4k+1

．

∴直線GH：y-2k=

k

k2-4k+1

[x-(2k2-8k+12)]，
令y=0，得到x=10．
∴直線GH過定點（10，0）．

點評：熟練掌握向量的運算法則、拋物線的標準方程、直線與拋物線相交問題、根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、點斜式、中點坐標公式是解題的關(guān)鍵．