【題目】已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,且滿足,.

1)若,,求a的值;

2)設(shè)數(shù)列滿足,其前n項的和為.

①求證:是等差數(shù)列;

②若對于任意的,都存在,使得成立.求證:.

【答案】1;(2)①證明見解析;②證明見解析.

【解析】

1)因為,所以此時單調(diào)遞增,,將代入,解出,同理將,的值代入可得出答案.
2)①由題意,,由,得,當(dāng)成立,當(dāng)時,可得,兩式相減化簡可得,從而可證明.
②由①可得,又存在,使得成立,即,當(dāng)成立,當(dāng)時,.

當(dāng)時,;當(dāng)時,必為整數(shù),即,要證,只需證即證,因為,只需證明即可.

1是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,

解:因為,所以此時單調(diào)遞增,

所以令,得,即,

平方整理得.

因為,所以

同理令,得,即,

平方整理得.因為,所以,因此.

2)證明:①由題意,,由,得.

當(dāng)時,,所以是公差為0的等差數(shù)列.

當(dāng)時,因為

所以①,

從而有.

-②,得,

化簡得.

因為,且數(shù)列的各項均為正數(shù),,

所以,從而,因此.

因為,所以.

綜上,是公差為d的等差數(shù)列.

②因為是公差為d的等差數(shù)列,所以.

因為對于任意的,都存在,使得,

所以有

整理得.

.,則,結(jié)論成立.

.,.

當(dāng)時,.

當(dāng)時,必為整數(shù),即.

因為,

所以,,所以,

從而.

下證,即證

從而只要證,

因此要證.

,則.

,則,

所以,

從而,

所以.

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