Question

已知圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1，在下列說法中：
①對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終相切；
②對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有四條公切線；
③直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C₂一定相交于兩個不同的點；
④P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動點，則|PQ|的最大值為4．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：

分析：對于①根據(jù)兩圓心距與兩圓的半徑之和之間的關系判斷即可．
對于②要根據(jù)兩圓的位置關系判斷，只有兩圓外切時才有4條切線．
對于③直線l是直線系，恒過一個定點，只需判斷此點與圓的位置關系即可．
對于④其兩動點間最值畫兩個相外切的圓數(shù)形結合即可．

解答： 解：對于①結論是正確的，由圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1可知兩圓圓心分別為C₁（2cosθ，2sinθ）與C₂（0，0），半徑分布為r₁=1，r₂=1∴圓心距|C₁ C₂|=

(2cosθ)2+(2sinθ)2

=2，
|C₁C₂|=r₁+r₂，故對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終相切；
對于②結論是不正確的，由①可知兩圓向外切，只有3條公切線．
對于③結論是正確的，由直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0可化為：m（2x+3y-2）+5x+2y-5=0
解方程組

2x+3y-2=0 6x+2y-5=0

，得交點M（

1

2

，

1

3

），|MO|=

( 1 2 )2+( 1 3 )2

=

13

6

＜1，故點M在圓C₂內，所以直線l與圓C₂一定相交于兩個不同的點．
對于④結論是正確的，如下圖所示，當P，Q兩點與公切點共線時距離最大為|PQ|=r₁+r₂=2

綜上，正確的結論是①③④．
故答案為：①③④

點評：本題考查了直線與圓，圓與圓的位置關系，所以基礎題．