Question

已知點M（-5，0），F(xiàn)（1，0），點K滿足

MK

=2

KF

，P是平面內(nèi)一動點，且滿足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設(shè)l₁與曲線C相交于點A，B，l₂與曲線C相交于點D，E，求四邊形ADBE的面積的最小值．

Answer 1

（1）設(shè)K（x₀，y₀），P（x，y）
∵M（-5，0），F(xiàn)（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀）
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0）
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（2）設(shè)l₁的方程為x=ny+1（n≠0），與y²=4x聯(lián)立，消去x可得y²-4ny-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴|AB|=

1+n2

|y1-y2|=4（n²+1）
∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的方程為x=-

1

n

y+1，與y²=4x聯(lián)立，
同理可得|DE|=4（

1

n2

+1）
∴四邊形ADBE的面積為

1

2

|AB||DE|=8（n²+1）（

1

n2

+1）=8（n²+

1

n2

+2）≥32
當(dāng)且僅當(dāng)n²=

1

n2

，即n=±1時，四邊形ADBE的面積的最小值為32．