Question

設函數(shù)f（x）=log_a（1-

a

x

），其中0＜a＜1．
（Ⅰ）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅱ）若f（x）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）設0＜a＜x₁＜x₂，g（x）=1-

a

x

，則g（x₁ ）-g（x₂）=

a(x1-x2)

x1x2

＜0，進而f（x₁ ）＞f（x₂ ），得f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）由

log	(1- a x ) a

＞1，得1-a＜

a

x

＜1，從而a＜x＜

a

1-a

，從而求出x的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設0＜a＜x₁＜x₂，g（x）=1-

a

x

，
則g（x₁ ）-g（x₂）=（1-

a

x1

）-（1-

a

x2

）=

a(x1-x2)

x1x2

＜0，
∴g（x₁ ）＜g（x₂ ），
又∵0＜a＜1，
∴f（x₁ ）＞f（x₂ ），
∴f（x）在（a，+∞）遞減；
（Ⅱ）∵

log	(1- a x ) a

＞1，
∴0＜1-

a

x

＜a，
∴1-a＜

a

x

＜1，
∵0＜a＜1，
∴1-a＞0，
從而a＜x＜

a

1-a

，
∴x的范圍是（a，

a

1-a

）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，不等式的證明，是一道綜合題．