Question

已知關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集．
（Ⅰ）求參數(shù)m的取值范圍的集合M；
（Ⅱ）設(shè)a，b? M，求證：a+b＜ab+1．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,絕對(duì)值不等式

專題：作圖題,證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=|x-3|+|x-4|，則y=

7-2x， (x≤3) 1 ，(3＜x≤4) 2x-7，(x＞4)

，畫出其圖象，即可求y_min=1，依題意可知m＞1，于是可得集合M；
（Ⅱ）a，b∈M⇒a＞1，b＞1，作差a+b-（ab+1）后化積，判斷即可證得結(jié)論成立．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=|x-3|+|x-4|，則y=

7-2x， (x≤3) 1 ，(3＜x≤4) 2x-7，(x＞4)

，畫出其圖象，

由圖可知y_min=1，
要使不等式|x-3|+|x-4|＜m的解集不是空集，需且只需m＞1，
∴m的取值范圍的集合M=（1，+∞）；                                  
（Ⅱ）∵a，b∈M，
∴a＞1，b＞1，
∵a+b-（ab+1）=（a-ab）+（b-1）=（a-1）（1-b），
∵a-1＞0，1-b＜0，
∴（a-1）（1-b）＜0，
∴a+b＜ab+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與推理論證能力，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．