Question

已知數列{a_n}滿足8a_n+1=a_n²+m（n，m∈N^*），且a₁=1．
（1）求證：當m=12時，1≤a_n＜a_n+1＜2；
（2）若a_n＜4對任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）求得當n=1時，根據a₁=1求得a₂，判斷出1=a₁＜a₂＜2．進而假設n=k時，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，求得n=k+1時，求得a_k+2＜2，由假設a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，整理得a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，最后綜合證明原式．
（2）整理8a_n+1=a_n²+m得a_n+1-a_n=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

判斷出結果大于或等于

m-16

8

，進而判斷出an≥1+

m-16

8

(n-1)分析當當m＞16時，顯然不可能使a_n＜4對任意n∈N^*成立，當m=16時，a₁＜4，假設a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．判斷出m=16時，對任意n∈N^*都有a_n＜4成立，進而求得m的最大值為16．

解答：證明：（1）①當n=1時，a₁=1，又8a₂=12+a₁²，a2=

13

8

，
∴1=a₁＜a₂＜2．
②假設n=k時，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，
當n=k+1時，有8a_k+2=12+a_k+1²＜12+2²=16，
∴a_k+2＜2成立，
由假設a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，
∴a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，
∴1≤a_k+1＜a_k+2＜2．
故由①，②知，對任意n∈N^*都有1≤a_n＜a_n+1＜2成立．
（2）由于an+1-an=

m

8

+

1

8

(

a

2 n

-8an)=

1

8

(an-4)2+

m-16

8

≥

m-16

8

，an≥a1+(n-1)

m-16

8

=1+

m-16

8

(n-1)，
①當m＞16時，顯然不可能使a_n＜4對任意n∈N^*成立，
②當m≤16時，a_n＜4對任意n∈N^*有可能成立，
當m=16時，a₁＜4，
假設a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．
所以m=16時，對任意n∈N^*都有a_n＜4成立，
所以m≤16時，a_n＜4，
故m的最大值是16．

點評：本題主要考查了根據數列的遞推式判斷數列的單調性和數列中的恒成立問題．考查了考生的推理和分析的能力．數列是高考的熱點問題，每年必考要強化復習．