Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于零，解方程，跟據(jù)f′（x），f（x）隨x的變化情況即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)若對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的最大值，即可求出k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）=，
令f′（x）=0，得x=±k
當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-，-k）	-k	（-k，k）	k	（k，+）
f′（x）	+		-		+
F（x）		4k2e-1

所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-k），和（k，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-k，k）；
當(dāng)k＜0時(shí)，f′（x）f（x）隨x的變化情況如下：

x	（-，-k）	-k	（k，-k）	-k	（-k，+）
f′（x）	-		+		-
F（x）				4k2e-1

所以，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，k），和（-k，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間是（k，-k）；
（Ⅱ）當(dāng)k＞0時(shí)，有f（k+1）=，不合題意，
當(dāng)k＜0時(shí)，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（-k）=，
∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，?f（-k）=≤，
解得-，
故對(duì)于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范圍是-．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，對(duì)方程f'（x）=0根大小進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，特別是（II）的設(shè)置，有關(guān)恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為求函數(shù) 的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，增加了題目的難度．