Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且對任意的a∈R，都有f（-a）+f（a）=0，若x，y滿足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，則當1≤x≤4時，2x-y的最大值為

1. A.
   1
2. B.
   10
3. C.
   5
4. D.
   8

Answer 1

B
分析：首先根據(jù)已知條件確定函數(shù)的性質(zhì)沒利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解不等式，得到x，y所滿足的條件，確定可行域與目標函數(shù)，把已知問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用目標函數(shù)的幾何意義確定最值，求解線性規(guī)劃問題，要注意結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義求解最值，該題中，目標函數(shù)Z=2x-y的幾何意義是直線2x-y-Z=0在y軸上截距的相反數(shù)，所以當直線在y軸上截距最小時，對應(yīng)的目標函數(shù)的最大值
解答：解：由于任意的a∈R都有f（-a）+f（a）=0，可知函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)
由f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0可得f（x²-2x）≤-f（2y-y²）
由函數(shù)為奇函數(shù)可得式f（x²-2x）≤f（-2y+y²）
∵函數(shù)y=f（x）為R上的減函數(shù)
∴x²-2x≥-2y+y²
即x²-y²-2（x-y）≥0
整理可得，（x+y-2）（x-y）≥0
作出不等式組所表示的平面區(qū)域即可行域如圖所示的△ABC
令Z=2x-y，則Z表示2x-y-z=0在y軸上的截距的相反數(shù)，
由圖可知，當直線經(jīng)過點A（1，1）時Z最小，最小值為Z=2×1-1=1，當直線經(jīng)過點C（4，-2）Z最大，最大值2×4-（-2）=10
故選B
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用，不等式表示平面區(qū)域的確定，利用線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．