Question

過拋物線y²=4x上一點(diǎn)A（1，2）作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足=λ₁；點(diǎn)F在線段BC上，滿足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P．
（1）設(shè)，求λ；
（2）當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出過A點(diǎn)的切線方程，確定出D點(diǎn)，分別表示出，，根據(jù)λ₁+λ₂=1，求出λ的值．
（2）設(shè)C（x，y），P（x，y），用x，y表示出x，y，代入拋物線方程，進(jìn)而確定P點(diǎn)的軌跡．
解答：解：（1）過點(diǎn)A的切線方程為y=x+1． …（1分）
切線交x軸于點(diǎn)B（-1，0），交y軸交于點(diǎn)D（0，1），則D是AB的中點(diǎn)．
所以．                            （1）…（3分）
由⇒=（1+λ）⇒． （2）
同理由 =λ₁，得=（1+λ₁），（3）
=λ₂，得=（1+λ₂）．     （4）
將（2）、（3）、（4）式代入（1）得．
因?yàn)镋、P、F三點(diǎn)共線，所以 +=1，
再由λ₁+λ₂=1，解之得λ=．…（6分）
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)P為△ABC的重心．
所以，x=，y=．
解得x=3x，y=3y-2，代入y²=4x得，（3y-2）²=12x．
由于x≠1，故x≠3．所求軌跡方程為（3y-2）²=12x （x≠3）． …（10分）
點(diǎn)評：本題以拋物線為載體，巧妙整合平面幾何中如下一個(gè)著名結(jié)論命制而成的．考查曲線的軌跡方程的探求及綜合應(yīng)用能力．