Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=BC，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥平面PAB；
（2）求三棱錐P-AEF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PA的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得四邊形EFGD為平行四邊形，所以DG∥EF．要證EF⊥平面PAB，可先證明DG⊥平面PAB，利用PD⊥底面矩形ABCD可證得；
（2）轉(zhuǎn)換底面，即V_P-AEF=V_E-PAF，由（1）知，EF=DG=，PA=，，從而可求
解答：證明：（1）取PA的中點(diǎn)G，連接DG，F(xiàn)G，
∵F為PB的中點(diǎn)，
∴FG∥CD且
∵ABCD為矩形，
∴AB∥CD，AB=CD
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴四邊形EFGD為平行四邊形
∴DG∥EF
∵AD=PD，G為PA的中點(diǎn)
∴DG⊥PA
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AB
∵AB⊥AD，PD∩AD=D
∴AB⊥平面PAD
∵DG?平面PAD，
∴AB⊥DG
∵PA∩AB=A
∴DG⊥平面PAB，
∵DG∥EF
∴EF⊥平面PAB
（2）由（1）知，EF=DG=，且EF為以△PAF為底面的三棱錐E-PAF的高
∵PA=，∴
∴
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查三棱錐的體積，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)與判定．