Question

如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在AB的延長線上，N在AD的延長線上，且對角線MN過C點(diǎn)．已知AB=2米，AD=1米．
（1）設(shè)BM=x（單位：米），要使花壇AMPN的面積大于9平方米，求x的取值范圍；
（2）若x∈[1，3]（單位：米），則當(dāng)AM，AN的長度分別是多少時(shí)，花壇AMPN的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：（1）由三角形相似得到AN與x的關(guān)系，然后直接代入矩形面積公式，最后求解一元二次不等式即可得到答案；
（2）由函數(shù)f(x)=x+

4

x

+4，x∈[1，3]，的單調(diào)性可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)花壇AMPN的面積為f（x），
由

x

2+x

=

1

AN

，∴AN=

2+x

x

，∴f(x)=

(2+x)2

x

(x＞0)．
要使花壇面積大于9，即

(2+x)2

x

＞9，解得0＜x＜1或x＞4；
（2）由f(x)=

(2+x)2

x

(x＞0)．
則f(x)=x+

4

x

+4，x∈[1，3]，
因?yàn)閒（x）在[1，2]上遞減，在（2，3]上遞增，
又f(1)=9，f(3)=

25

3

，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f_max（x）=9，
即當(dāng)AM=3米，AN=3米時(shí)，花壇AMPN面積最大為9平方米．

點(diǎn)評：本題考查了根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)模型，考查了不等式的解法，考查了函數(shù)y=x+

k

x

(k＞0)的單調(diào)性，是中檔題．