Question

（2013•濰坊一模）如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T（0，2），與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M必在點(diǎn)N的右側(cè)），且|MN|=3，已知橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距等于2|ON|，且過點(diǎn)(

2

，

6

2

)．
（ I ） 求圓C和橢圓D的方程；
（Ⅱ） 若過點(diǎn)M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，求證：直線NA與直線NB的傾角互補(bǔ)．

Answer 1

分析：（I）①設(shè)圓的半徑為r，則圓心為（r，2），由|MN|=3，利用垂徑定理得r2=(

3

2

)2+22即可解得r．于是得到圓的方程，可求得點(diǎn)N，M的坐標(biāo)．
②由①得到2c，得到a²=b²+c²；又橢圓過點(diǎn)(

2

，

6

2

)，代入橢圓的方程又得到關(guān)于a，b的一個(gè)方程，聯(lián)立即可解出a，b，進(jìn)而得到橢圓的方程．
（II）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出k_AN+k_BN，證明其和等于0即可．

解答：（I）解：①設(shè)圓的半徑為r，則圓心為（r，2），
由|MN|=3，得r2=(

3

2

)2+22=

25

4

，解得r=

5

2

．
所以⊙C的方程為(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
令y=0，解得x=1或4．
∴N（1，0），M（4，0）．
∴2c=2，得c=1．
②∵橢圓過點(diǎn)(

2

，

6

2

)，∴

2

a2

+

3

2b2

=1．
聯(lián)立

2 a2 + 3 2b2 =1 a2=b2+1

，解得

a2=4 b2=3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)直線l的方程為y=k（x-4），
聯(lián)立

y=k(x-4) 3x2+4y2=12

消去y得到（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
∵k_AN+k_BN=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-4)

x1-1

+

k(x2-4)

x2-1

=

k

(x1-1)(x2-1)

[2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8]
=

k

(x1-1)(x2-1)

[

2(64k2-12)

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8]
=0．
∴k_AN=-k_BN．
當(dāng)x₁=1或x₂=1時(shí)，k=±

1

2

，此時(shí)方程（*）的△=0，不合題意，應(yīng)舍去．
因此直線NA與直線NB的傾角互補(bǔ)．

點(diǎn)評：熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、垂徑定理、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、
直線NA與直線NB的傾角互補(bǔ)（斜率存在）?k_AN+k_BN=0等是解決問題的關(guān)鍵．