函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果存在x0∈D,使f(x0)=x0,則稱點(diǎn)(x0,x0)為函數(shù)f(x)圖象上的不動(dòng)點(diǎn).

(1)試證明:若定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè).

(2)若函數(shù)f(x)=的圖象上有兩個(gè)關(guān)于直線x+y=3對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn),求a的值.

答案:
解析:

  解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)

  解(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).又因?yàn)閤∈R,令x=0,所以f(0)=0.

  所以(0,0)是奇函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).設(shè)c≠0,(c,c)是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),f(c)=c.由于f(-c)=-f(c)=-c,所以(-c,-c)也是f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).且-c≠c,即奇函數(shù)f(x)的非零不動(dòng)點(diǎn)如果存在,則必成對(duì).又因?yàn)閒(x)只有有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn),所以不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個(gè).

  (2)設(shè)點(diǎn)(x0,x0)是f(x)=圖象上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則(x0,x0)關(guān)于直線x+y=3的對(duì)稱點(diǎn)(3-x0,3-x0)也是f(x)的不動(dòng)點(diǎn),即x0,3-x0是方程x=的兩個(gè)根.

  整理得,x2+(a-2)x-4=0,由韋達(dá)定理得,-(a-2)=x0+(3-x0),a=-1故f(x)=


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書) 題型:044

設(shè)f(x)=是R上的奇函數(shù).

(1)求a的值;

(2)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);

(3)對(duì)任意給的k∈R+,解不等式f-1(x)>log2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:成功之路·突破重點(diǎn)線·數(shù)學(xué)(學(xué)生用書) 題型:044

函數(shù)f(x)=-sin2x+sinx+a,若1≤f(x)≤,對(duì)一切x∈R恒成立,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2004全國(guó)各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學(xué) 題型:044

函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽,且f(-n)=0(n∈N).

(1)求證:a>0,b<0;

(2)(文)若f(1)=且f(0)=,求證:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+(n∈N).

(理)若f(1)=,且f(x)在[0,1]上的最小值為,求證:f(1)+f(2)+…+f(n)>n+(n∈N).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:安徽省蚌埠二中2007屆第二次月考試卷、數(shù)學(xué)(文) 題型:044

解答題:

f(x)是定義在(0,+)上的增函數(shù),且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),解關(guān)于x的不等式f(logx)0<0

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案