Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

2

x+1

（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），由導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，得出f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則不等式f′（x）＜0有正數(shù)根，對a分a=0、a＜0、a＞0進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)或二次函數(shù)，寫出等價(jià)條件，求出a的范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx+

2

x+1

，定義域?yàn)椋?，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-

2

(x+1)2

=

x2+1

x(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，f_min（x）=f（1）=1
（2）f′(x)=

a

x

-

2

(x+1)2

=

ax2+2(a-1)x+a

x(x+1)2

∵f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間∴f′（x）＜0有正數(shù)解，即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解，
 ①當(dāng)a=0時(shí)，明顯成立
②當(dāng)a＜0時(shí)，y=ax²+2（a-1）x+a為開口向下的拋物線，ax²+2（a-1）x+a＜0總有x＞0的解
 ③當(dāng)a＞0時(shí)，y=ax²+2（a-1）x+a為開口向上的拋物線，即ax²+2（a-1）x+a=0有正根，因?yàn)閤₁x₂=1＞0，所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根?

△＞0 x1+x2＞0

，解得0＜a＜

1

2

，綜上得a＜

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性求參數(shù)范圍，運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論思想，屬于中檔題．