Question

為使方程cos2x-sinx+a=0在(0，

π

2

]內(nèi)有解，則a的取值范圍是

-1＜a≤1

．

Answer 1

分析：由題意可得方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解，函數(shù)f（t）=t²+t-a-1 的對(duì)稱(chēng)軸為t=-

1

2

，故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，解此不等式組求得a的取值范圍．

解答：解：方程cos²x-sinx+a=0即 sin²x+sinx-a-1=0．
由于x∈（0，

π

2

]，∴0＜sinx≤1．
故方程t²+t-a-1=0 在（0，1]上有解．
又方程t²+t-a-1=0 對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)f（t）=t²+t-a-1 的對(duì)稱(chēng)軸為t=-

1

2

，
故有

f(0)•f(1)≤0 f(0)≠0

，即

(a-1)•(1-a)≤0 (-a-1)≠0

．
解得-1＜a≤1．
故答案為：-1＜a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．