Question

若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的取值范圍為（　　）

A．[2，6]

B．[-2，6]

C．[0，3]

D．[.2，8]

Answer 1

分析：可設(shè)P（x，p），可求得

OP

與

FP

的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合橢圓的方程即可求得其答案．

解答：解：∵點(diǎn)P為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的任意一點(diǎn)，設(shè)P（x，y）（-2≤x≤2，-

3

≤y≤

3

），
依題意得左焦點(diǎn)F（-1，0），
∴

OP

=（x，y），

FP

=（x+1，y），
∴

OP

•

FP

=x（x+1）+y²
=x²+x+

12-3x2

4

=

1

4

x²+x+3
=(

1

2

x+1)2+2，
∵-2≤x≤2，
∴0≤

1

2

x+1≤2，
∴0≤(

1

2

x+1)2≤4，
∴2≤(

1

2

x+1)2+2≤6．
即2≤

OP

•

FP

≤6．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想與解決問題的能力，屬于中檔題．