Question

若a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N），我們把使乘積a₁a₂…a_n為整數(shù)的數(shù)n叫做“劣數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)所有劣數(shù)的和為________．

Answer 1

2026
分析：由已知中a_n=log_（n+1）（n+2），利用對數(shù)的運算性質(zhì)（換底公式的推論），我們可以得到乘積a₁a₂…a_n=log₂（n+2），則當n+2為2的整數(shù)次冪時，n為劣數(shù)，即所有劣數(shù)n，對應(yīng)的n+2構(gòu)成一個以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的前n項和公式，易求出區(qū)間（1，2004）內(nèi)所有劣數(shù)的和．
解答：∵a_n=log_（n+1）（n+2）
∴a₁=log₂3；a₂=log₃4；a₃=log₄5；…
則a₁a₂…a_n=log₂3•log₃4•log₄5•…•log_（n+1）（n+2）=log₂（n+2）
當n+2為2的整數(shù)次冪時，a₁a₂…a_n為整數(shù)
則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)所有劣數(shù)n，對應(yīng)的n+2構(gòu)成一個以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，且滿足條件的最后一項為1024
則區(qū)間（1，2004）內(nèi)所有劣數(shù)的和為：
（4-2）+（8-2）+（16-2）+…+（1024-2）=（4+8+16+…+1024）-2×9=2044-18=2026
故答案為：2026
點評：本題考查的知識點是對數(shù)的運算性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項和公式，其中根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)將a₁a₂…a_n化為log₂（n+2），是解答本題的關(guān)鍵，解答時，要注意在區(qū)間（1，2004）內(nèi)最小的劣數(shù)對應(yīng)的n+2為4，而不是2．